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1量子通信網(wǎng)絡(luò)的模型

量子信道的建立速率定義為兩個量子通信節(jié)點之間建立量子糾纏對的速率.基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點具有以下三個功能:遠(yuǎn)程傳態(tài)功能、產(chǎn)生并向周圍節(jié)點分發(fā)糾纏粒子功能和糾纏連接功能.其中糾纏連接功能由糾纏交換功能和糾纏純化功能組成[2324],采用糾纏連接,可以為不存在糾纏粒子對的節(jié)點提供糾纏中繼.在該網(wǎng)絡(luò)中,距離較近的節(jié)點可直接分發(fā)糾纏粒子,建立量子信道,而相距較遠(yuǎn)的節(jié)點不直接分發(fā)高保真度糾纏粒子,需要通過中間節(jié)點依次中繼,建立兩節(jié)點間高保真度的量子信道.量子通信網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示.圖1中個節(jié)點以單位密度分布在正方形的二維平面中,分布區(qū)域的正方形面積。整個分布區(qū)域的節(jié)點總數(shù)為,各節(jié)點在空間中隨機(jī)分布,假設(shè)在不相交區(qū)域中節(jié)點數(shù)目相互獨立,則節(jié)點的分布滿足空間泊松過程.該量子通信網(wǎng)絡(luò)有以下特點:1)所有的節(jié)點功能相同,可與相鄰節(jié)點直接通信,也可通過相鄰節(jié)點為中繼與遠(yuǎn)處節(jié)點通信;2)量子信息通過量子糾纏對傳輸,但節(jié)點之間不預(yù)先存儲量子糾纏對;3)對于相鄰節(jié)點,在通信開始階段,節(jié)點中進(jìn)行糾纏粒子生成,生成的糾纏粒子傳輸至相鄰節(jié)點,得到高保真度的糾纏對以供量子信息傳輸。4)對于相距較遠(yuǎn)的節(jié)點,需要先找到一條可以連接待通信兩節(jié)點的拓?fù)渫?通過通路上節(jié)點的糾纏連接操作,在遠(yuǎn)距離的節(jié)點間得到高保真度的糾纏對.本文分別對該模型下任意兩節(jié)點間的量子信道建立速率進(jìn)行分析,包括基礎(chǔ)鏈路、中繼長鏈路以及趨于無窮大時大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中遠(yuǎn)距離兩節(jié)點間的量子信道建立速率.

2量子通信網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)鏈路的信道建立速率

在基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡(luò)中,將可以直接通過糾纏粒子分發(fā)建立量子信道的節(jié)點稱為相鄰節(jié)點,相鄰兩節(jié)點間通過糾纏粒子形成的量子通路稱為基礎(chǔ)鏈路.不存在基礎(chǔ)鏈路的節(jié)點之間可以通過中繼節(jié)點之間的基礎(chǔ)鏈路建立量子信道.文獻(xiàn)[25]對基礎(chǔ)鏈路上的信道建立速率進(jìn)行了分析.基礎(chǔ)鏈路上的一個節(jié)點由于內(nèi)部糾纏粒子的存儲空間有限,所以節(jié)點產(chǎn)生糾纏粒子對的頻率也受到限制.假設(shè)節(jié)點光子產(chǎn)生糾纏粒子操作的頻率為,節(jié)點按成功概率g產(chǎn)生一定保真度的糾纏粒子對,為兩節(jié)點之間的距離,為光速,則相鄰兩節(jié)點之間成功得到一個糾纏光子對的平均時間。

3中繼長鏈路的量子信道建立速率分析

非相鄰兩節(jié)點間如果可以通過中繼節(jié)點建立量子信道,則兩節(jié)點間的量子通路稱為中繼長鏈路.相鄰節(jié)點之間可以直接生成量子糾纏對以傳遞量子信息,但中繼長鏈路上需要各中繼節(jié)點通過糾纏連接,消耗中繼節(jié)點上的量子糾纏對,從而在源節(jié)點和目的節(jié)點之間得到高保真度的量子糾纏對,建立量子信道.圖2為僅有一個中繼節(jié)點的三節(jié)點中繼長鏈路,假設(shè)節(jié)點Alice為源節(jié)點,節(jié)點Carol為目的節(jié)點,節(jié)點Bob為中繼節(jié)點,節(jié)點Bob和相鄰節(jié)點Alice,Carol分別共享量子糾纏對A1-B1和B2-C1.該過程中,節(jié)點Bob對位于本節(jié)點的量子比特B1和B2執(zhí)行貝爾基測量,即可得知A1,C1的糾纏狀態(tài).在最大糾纏態(tài)情形下,糾纏連接即形成.在非最大糾纏態(tài)情形下,糾纏連接概率性形成,。由于各基礎(chǔ)鏈路上糾纏粒子生成和糾纏連接操作的順序不同,可以得到不同的量子信道建立方法,不同的量子信道建立方法對應(yīng)不同的量子信道建立速率.我們對逐點和分段兩種量子信道建立方法所對應(yīng)的量子信道建立速率進(jìn)行分析.如圖3所示,假設(shè)一條中繼長鏈路由個節(jié)點和1條基礎(chǔ)鏈路所構(gòu)成,設(shè)源節(jié)點編號為1,目的節(jié)點的編號為,鏈路上的節(jié)點和基礎(chǔ)鏈路依次編號.假設(shè)節(jié)點1和之間已建立量子信道,節(jié)點和節(jié)點之間也已建立量子信道,對某節(jié)點進(jìn)行糾纏連接操作,可得建立該量子信道的速率。如圖4所示,逐點量子信道建立方法中各個中繼節(jié)點上的糾纏生成和糾纏連接操作依次進(jìn)行,其步驟如下:1)生成中繼節(jié)點2與源節(jié)點1之間的糾纏粒子對;2)生成中繼節(jié)點2和下一中繼節(jié)點3之間的糾纏粒子對,中繼節(jié)點2進(jìn)行糾纏連接,使得源節(jié)點1與中繼節(jié)點3建立量子信道;3)生成中繼節(jié)點3和中繼節(jié)點4之間糾纏粒子對,中繼節(jié)點3進(jìn)行糾纏連接,使得源節(jié)點1與中繼節(jié)點4建立量子信道;4)逐點進(jìn)行,最后生成中繼節(jié)點(1)和中繼節(jié)點間糾纏粒子對,中繼節(jié)點(1)進(jìn)行糾纏連接,建立源節(jié)點1和目的節(jié)點間建立量子信道.逐點量子信道建立方法需要在2個中繼節(jié)點上進(jìn)行不相互獨立的糾纏連接操作.基礎(chǔ)鏈路的信道建立速率由量子糾纏分發(fā)速率決定.糾纏光子經(jīng)由光纖或自由空間信道傳輸,再經(jīng)過本地操作實現(xiàn)量子糾纏分發(fā),該過程所需時間設(shè)為常數(shù)。

4基于逾滲模型的二維量子通信網(wǎng)絡(luò)量子信道建立速率

量子通信網(wǎng)絡(luò)的模型與傳統(tǒng)通信網(wǎng)絡(luò)模型類似,都可建模為個節(jié)點利用傳輸信道進(jìn)行信息傳遞,所不同之處在于傳統(tǒng)無線通信網(wǎng)絡(luò)使用的是傳統(tǒng)無線或者有線信道,而基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡(luò)使用的是糾纏粒子構(gòu)成的量子信道.與經(jīng)典無線通信網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)格劃分相似,可采用逾滲模型對整個網(wǎng)絡(luò)特性進(jìn)行分析.逾滲模型證明通過適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)網(wǎng)格劃分可保證整個網(wǎng)絡(luò)的連通性,使得網(wǎng)絡(luò)中的任意源節(jié)點和任意目的節(jié)點總可找到一條中繼鏈路相連,整個網(wǎng)絡(luò)中將形成高速公路(highway),高速公路可為其他不在高速公路上的節(jié)點提供中繼[16].將圖1中節(jié)點數(shù)目為的量子通信網(wǎng)絡(luò)平面劃分為邊長為的正方形網(wǎng)格,若某個網(wǎng)格中至少含有一個節(jié)點,該節(jié)點可為相鄰網(wǎng)格中的節(jié)點提供中繼,則這個網(wǎng)格視為連通的.由單位密度泊松點過程的概率分布規(guī)律,網(wǎng)格中至少含有一個節(jié)點的概率為(si1)=1e2,其中si代表單個網(wǎng)格中的節(jié)點數(shù).網(wǎng)格邊長足夠大時,可保證網(wǎng)格中至少有一個節(jié)點的概率足夠大.當(dāng)網(wǎng)格連通概率大于二維正方形逾滲的逾滲閾值時,將會出現(xiàn)無限大連通集團(tuán),整個量子通信網(wǎng)絡(luò)必然是連通的,即網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點間存在直接量子信道或者由多個中繼節(jié)點組成的量子信道.當(dāng)網(wǎng)格連通概率大于二維正方形逾滲的逾滲閾值時,將在水平方向和垂直方向由連通的網(wǎng)格依次相連形成大規(guī)模的連通鏈路,這種連通鏈路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)稱為高速公路.高速公路上分布著大量的中繼節(jié)點,且這些相鄰中繼節(jié)點之間的最遠(yuǎn)距離由網(wǎng)格的邊長決定,使得基礎(chǔ)鏈路的長度最長不超過網(wǎng)格對角線長.高速公路存在于網(wǎng)絡(luò)水平方向和垂直方向,源節(jié)點找到離自己最近的高速公路入口節(jié)點,然后在水平方向的高速公路找到與目的節(jié)點垂直距離最近的節(jié)點,接著通過該節(jié)點沿著垂直方向的高速公路找到與目的節(jié)點最近的出口節(jié)點.由于高速公路的存在,若源節(jié)點和目的節(jié)點都在高速公路上,則這兩個節(jié)點可直接利用高速公路的中繼作用建立量子信道,若源節(jié)點和目的節(jié)點至少有一個不在高速公路上,則應(yīng)先找到最近的高速公路入口節(jié)點或出口節(jié)點,再通過高速公路中繼,從而建立量子信道。由此可知,高速公路上的基礎(chǔ)鏈路的量子信道建立速率僅與節(jié)點的量子存儲空間、網(wǎng)格劃分的對角線長度、給定的量子信息保真度有關(guān),與總節(jié)點個數(shù)無關(guān),故相對于為常數(shù)階.不在高速公路上的節(jié)點要先找到離它最近的高速公路節(jié)點作為入口節(jié)點或者出口節(jié)點,源節(jié)點與入口節(jié)點之間以及目的節(jié)點與出口節(jié)點之間存在基礎(chǔ)鏈路,該基礎(chǔ)鏈路的量子信道建立速率與總節(jié)點個數(shù)有關(guān),由于不在高速路的點與最近的高速公路節(jié)點的距離不大于log+22[21],故該基礎(chǔ)鏈路的速率。因此對中繼長鏈路而言,分段量子信道建立方法的量子信道建立速率更高.因此我們對長鏈路上使用分段量子信道建立方法進(jìn)行分析.根據(jù)源節(jié)點和目的節(jié)點分布不同,可分為以下兩種場景.場景1:若源節(jié)點和目的節(jié)點都在高速公路上,則對于有Ω()個節(jié)點的這條長中繼鏈路,基礎(chǔ)鏈路的最長距離由網(wǎng)格劃分的邊長決定,此時基礎(chǔ)鏈路上的量子信道建立速率為常數(shù)階,源節(jié)點和目的節(jié)點成功得到量子糾纏對的速率。所以當(dāng)量子通信網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點都利用逾滲模型所指出的高速公路進(jìn)行長鏈路的中繼通信,且采用分段量子信道建立方法時,整個量子通信網(wǎng)絡(luò)的量子信道建立速率為Ω(1/).由于場景2的量子信道建立速率小于場景1的量子信道建立速率,整個量子信息網(wǎng)絡(luò)的量子信道建立速率上限值由兩者的較小值所決定的,故量子通信網(wǎng)絡(luò)的量子信道建立速率為Ω(1/).

5結(jié)論

本文針對基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡(luò),提出了量子通信網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)模型.基于網(wǎng)絡(luò)模型,提出了量子信道建立速率概念.根據(jù)鏈路結(jié)構(gòu)的不同,把量子通信網(wǎng)絡(luò)中的通信鏈路分為基礎(chǔ)鏈路和中繼長鏈路.在中繼長鏈路上,量子信道建立方法的不同會導(dǎo)致整體鏈路量子信道建立速率有很大的不同.通過對逐點量子信道建立方法的分析,提出了一種應(yīng)用量子中繼長鏈路的分段量子信道建立方法,得到在逐點方法和分段方法下,對于有個節(jié)點的中繼長鏈路,量子信道建立速率分別為Ω(1/e)和Ω(1/).通過逾滲模型揭示了量子通信網(wǎng)絡(luò)的連通性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),得到了中繼長鏈路的節(jié)點總數(shù)和基礎(chǔ)鏈路的最大長度,將分段量子信道建立方法應(yīng)用到逾滲高速公路拓?fù)涞拈L鏈路中,對大規(guī)模糾纏態(tài)量子通信網(wǎng)絡(luò)中任意兩點間的量子信道建立速率進(jìn)行分析,推導(dǎo)出個節(jié)點二維量子通信網(wǎng)絡(luò)中量子信道建立速率為Ω(1/).

作者：陳鵬蔡有勛蔡曉菲施麗慧余旭濤單位：東南大學(xué),毫米波國家重點實驗室