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一、引言

在我國保險(xiǎn)公司的運(yùn)作中，保費(fèi)收入是主要收入來源，理陪是主要風(fēng)險(xiǎn)因素，為了保障保險(xiǎn)公司的正常運(yùn)作，保險(xiǎn)公司必須充分考慮所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，而破產(chǎn)理論的研究主要針對(duì)保險(xiǎn)公司如何估計(jì)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，它主要研究在較長(zhǎng)時(shí)間上保險(xiǎn)公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率，以前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對(duì)非壽險(xiǎn)進(jìn)行研究，并且主要考慮在理賠次數(shù)N(t)為泊松過程，理賠額S(t)為復(fù)合泊松過程情況下的盈余過程，在非壽險(xiǎn)研究中得到一個(gè)Lundberg不等式，這個(gè)破產(chǎn)概率上界為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)分析提供了有力工具。

本文利用（文獻(xiàn)[1]）風(fēng)險(xiǎn)理論，考慮在壽險(xiǎn)中破產(chǎn)理論的研究，得到壽險(xiǎn)破產(chǎn)模型，設(shè)計(jì)了求解壽險(xiǎn)中的破產(chǎn)概率的一種算法，并得到壽險(xiǎn)破產(chǎn)概率的一個(gè)上界。

二、單一年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型

設(shè)壽險(xiǎn)中，剛投保時(shí)（t=0時(shí)刻），年齡均為x的被保險(xiǎn)人有n[,1]個(gè)，每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡概率遵循相同的生命表，初始準(zhǔn)備金為u[,1]，并且設(shè)

n[,k]：第k年年初時(shí)的被保險(xiǎn)人數(shù)

c：被保險(xiǎn)人每年所交的保險(xiǎn)費(fèi)

d[,k]：第k年內(nèi)(k,k+1)被保險(xiǎn)人死亡的人數(shù)(1)

q[,x]；被保險(xiǎn)人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率

b：每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，保險(xiǎn)人要支付的保險(xiǎn)金

由此假定我們知：

t=0時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。

定義1對(duì)任意t＞0，設(shè)c＞0為單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入率，s(t)為到時(shí)刻t保險(xiǎn)公司支付的理賠總額，u(0)=u為時(shí)刻0時(shí)的初始準(zhǔn)備金，則

u(t)=u+ct-s(t)(2)

稱為時(shí)刻t時(shí)的盈余

由(2)可見：這里的盈余并沒有考慮除了保費(fèi)和理賠以外的影響盈余的因素，如附加費(fèi)和保單持有人的分紅等，顯然，這種盈余并不是財(cái)務(wù)意義上的盈余，只是為了數(shù)學(xué)上處理方便而已…當(dāng)盈余在某一時(shí)刻為負(fù)時(shí)，我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生，既然此處盈余并不是財(cái)務(wù)意義上的盈余，則此時(shí)破產(chǎn)就不等價(jià)于保險(xiǎn)公司真的破產(chǎn)，但破產(chǎn)是衡量保險(xiǎn)公司金融風(fēng)險(xiǎn)的極其重要的尺度。我們僅定義時(shí)間不連續(xù)時(shí)的破產(chǎn)概率

定義2稱Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，對(duì)某τ,τ=1,2,…t-1｝，為給定u,n時(shí)，第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。

設(shè)u[,k]表示第k年年初的準(zhǔn)備金，且此時(shí)尚未收取第k年的保險(xiǎn)費(fèi)，v[,k]表示第k年年末的準(zhǔn)備金，且此時(shí)尚未支付第k年年末的保險(xiǎn)金，i是常數(shù)利率，則

v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i)u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]

定理1壽險(xiǎn)中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為u[,1],t=0時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n[,1]，且，c,q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件，則保險(xiǎn)人在第t年末的破產(chǎn)概率

附圖

證明：被保險(xiǎn)人在第一年末，可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡，當(dāng)死亡時(shí)，保險(xiǎn)人由于支付保險(xiǎn)金，可能導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生，也可能不發(fā)生破產(chǎn)，我們考慮臨界狀態(tài)：即第1年年初所收保費(fèi)與初始準(zhǔn)備金之和等于第一年年末支付的保險(xiǎn)金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即

附圖

對(duì)給定的n[,1]，在第1年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為(n[,1],q[,x])的二項(xiàng)分布，由此我們推得：

附圖

注：定理1給出求解破產(chǎn)概率的公式，實(shí)際上我們可以利用迭代法求解保險(xiǎn)期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。

實(shí)際上，壽險(xiǎn)保險(xiǎn)人數(shù)相當(dāng)大，而且被保險(xiǎn)人死亡的概率非常小，存活過保險(xiǎn)期的人數(shù)也相當(dāng)大。我們知道二項(xiàng)分布中當(dāng)n[,1]充分大，q[,x]充分小時(shí)，由概率論中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二項(xiàng)分布，記λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：

推論1壽險(xiǎn)中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為u[,1],t=0時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件，則保險(xiǎn)人在第t年末的破產(chǎn)概率

附圖

三、不同年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型

為便于研究，對(duì)壽險(xiǎn)中的被保險(xiǎn)人進(jìn)行分組，不妨設(shè)，剛投保時(shí)（t=0時(shí)刻），年齡為x(j)的被保險(xiǎn)人有n[,1](j)個(gè)，共分成m組（這m組相互獨(dú)立，且每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡概率遵循相同的生命表），初始準(zhǔn)備金為u[,1]，并且設(shè)

n[,k](j)表示第k年年初時(shí)的第j組的被保險(xiǎn)人數(shù)

c(j)表示第j組的被保險(xiǎn)人每年所交的保險(xiǎn)費(fèi)(3)

d[,k](j)表示第k年內(nèi)(k,k+1)第j組保險(xiǎn)人死亡的人數(shù)

q[,x(j)]表示第j組被保險(xiǎn)人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率

b表示每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)保險(xiǎn)人要支付的保險(xiǎn)金

由此假定我們知：

附圖

附圖

四、破產(chǎn)概率上界

在非壽險(xiǎn)破產(chǎn)理論研究中，人們得到破產(chǎn)概率的上界，即Lundberg不等式。本文證明了在壽險(xiǎn)破產(chǎn)理論研究中，破產(chǎn)概率的上界仍然滿足Lundberg不等式。

附圖

附圖

定理2壽險(xiǎn)中，初始準(zhǔn)備金為u[,1]，初始投保人數(shù)為N，則保險(xiǎn)人的破產(chǎn)概率滿足：

附圖

由定理2我們看到當(dāng)初始準(zhǔn)備金u增大（減小）時(shí)，破產(chǎn)概率上界減少（增大），即破產(chǎn)概率相應(yīng)減?。ㄔ龃螅?，u趨于無窮時(shí)，破產(chǎn)概率為0。

五、算例

設(shè)對(duì)于保險(xiǎn)期限為10年期的定期保險(xiǎn)，有兩組被保險(xiǎn)人，當(dāng)t=0時(shí)，第一組被保險(xiǎn)人數(shù)50人，年齡為40歲，第二組被保險(xiǎn)人數(shù)100人，年齡為50歲，第一組被保險(xiǎn)人每年交150元人民幣，第二組被保險(xiǎn)人每年交250元人民幣，假定每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，保險(xiǎn)人支付30000元人民幣保險(xiǎn)金，利率i=0.03，死亡率遵循[2]附錄的生命表，由推論2和定理2可得：初始準(zhǔn)備金為一萬元人民幣時(shí)，破產(chǎn)概率上界=0.36788

附圖

初始準(zhǔn)備金為0時(shí)，破產(chǎn)概率上界=1

由此我們看到初始準(zhǔn)備金增加時(shí)，破產(chǎn)概率減小，破產(chǎn)概率上界減小。

附圖

六、結(jié)論

本文對(duì)壽險(xiǎn)中破產(chǎn)理論進(jìn)行研究，給出了壽險(xiǎn)中求解破產(chǎn)概率的一種算法，這種算法對(duì)于求解非壽險(xiǎn)的破產(chǎn)概率仍然成立，并得到具有與非壽險(xiǎn)破產(chǎn)概率相同的上界。這對(duì)促進(jìn)壽險(xiǎn)和非壽險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論研究的統(tǒng)一，具有拋磚引玉的作用。但在考慮影響保險(xiǎn)公司盈余的附加費(fèi)和保單持有人分紅等因素在破產(chǎn)理論中的研究仍需進(jìn)一步探討。

【責(zé)任編輯】黃立虎

【參考文獻(xiàn)】

1成世學(xué)，嚴(yán)穎譯.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)引[M].北京：世界圖書出版公司，1997.

2雷宇.壽險(xiǎn)精算學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1998.